Kuidas vaheeksamitel läks

Sellel nädalal anti meile kätte vaheeksamite tulemused. Eksamid läksid enam-vähem hästi; nagu mainisin, siis tuli ajast puudu ning ei jõudnud mitmeid asju lõpuni teha, mistõttu jäi siin-seal mõni asi ripakile ning kaotas punkte. Samas nii palju aega oli, et midagi kirjutada jõudsin ning ülesanded olid talutava raskusega, mistõttu suuri prohmakaid ei olnud. Mänguteoorias läks üsna hästi, minu tulemus oli 86/100, keskmine oli 76/100; kõige suurem osa punkte läks viimase küsimuse pealt, mida ei jõudnud jälle lihtsalt lõpuni kirjutada, kuid esitasin õiged tingimused lahenduse lõpuni viimiseks; anti ainult kolm punkti kümnest. Õppeassistent lubas selle koha üle vaadata ning kaalub punktide juurde andmist. Topoloogias sain 34/40, seal läks üks alapunkt nihu; 34 oli ühtlasi mediaantulemus. Arvan, et 34-36 ümbruses oli päris palju töid. Mikros sain 26/50, mediaan ja keskmine oli 29/50, mis oli ühtlasi A-/B+ lõikepunkt. See oli lihtsalt illustratsiooniks, mis oleks saanud, kui hinne oleks pandud ainult vaheeksami põhjal. Üsna kerge oleks olnud palju paremini teha, sest jätsin väga palju punkte lihtsalt lauale ning kulutasin mõnele ülesandele liiga palju, kus nii väga hästi ei läinudki. Samas oli ka tõenäoliselt teistel võimalus palju paremini teha, mistõttu paiknemine keskmise lähedusse polegi nii hull. Huvitav efekt kõigi tulemuste puhul on see, et kui saad mediaanile või keskmisele lähedase tulemuse võid veel vabalt olla A lainel… Seda sellepärast, et ülemise otsa punktid on tihedalt koos ning väga paljud tudengid sooritavadki eksami väga hästi. Selleks, et veel kuidagi eraldi niigi häid tudengeid hinnata kasutatakse siin süsteemi, kus ühest hindest on tehtud kolm versiooni: näiteks A+,A,A-. Tartus on mediaantulemus enamasti aga kuskil hinde C kandis, sest eksamit sooritavad hästi vähesed tudengid. Seega arvan, et olen kõikides ainetes veel A või B lainel ning kõige rohkem loevad lõpueksamid. Need tulevad aga juba üsna pea ning põhimõtteliselt kohe pärast loengute lõppu; arvan, et kogu show on läbi 15.detsembriks. Tean juba, et kaks eksamit on ühel päeval ja 13. detsembril. Nii et arvan, et siirdungi veel praegu - kell üheksa õhtul -raamatukokku õppima, kus kollase valguse käes koos hulga kollaste inimestega õppima hakkan.

Ja lõpetuseks, kuna mul õnnestus saada Latex isegi Bloggerisse, siis pean seda ka kasutama ning esitan mõne küsimuse vaheeksamilt.Tõlgin nad ära (nii palju, kui oskan).

1. Mikroökonoomika. 

Ennustusturud lubavad kauplejatel teha panuseid tuleviku sündmuste toimumise kohta. Üks ennustusturg, mis on sellel hooajal eriti aktiivne olnud, on USA presidendi valimistulemuste ennustamine. Näiteks kui üks kaupleja ostab ühe "Obama võidab" osaku teiselt kauplejalt, siis müüja maksab ostjale ühe dollari, kui Obama võidab, ning kui Obama ei võida, siis müüja ei maksa midagi ning lihtsalt säilitab ostja makstud summa.

a) Leila on oodatava kasulikkuse (expected utility) maksimeerija von Neumann-Morgenstern kasulikkusfunktsiooniga $u(x)=\ln(x+1)$ ja algse rahasummaga (wealth) 4. Leila usub, et Obama võidab tõenäosusega 0,5. Leia kõrgeim hind $p_b$, millega ta on nõus ostma vähemalt ühe osaku.

b) Olgu $p_s$ madalaim hind, millega Leila on nõus müüma ühe osaku. Kuidas suhestuvad omavahel $p_b$  ja $p_s$? Kas nad on samad? Selgita.

c) Vadim on rohkem riskikartlik kui Leila. Ta samuti usub, et Obama võidab tõenäosusega 0,5. Kuidas suhestub tema kõrgeim hind, millega ta on nõus ostma vähemalt ühe osaku, vastava Leila hinnaga ehk hinnaga $p_b$. Tõesta oma vastus.

2. Mänguteooria.

a) Defineeri rangelt domineeriv strateegia ja nõrgalt domineeriv strateegia.

b) Kaalume järgmist hääletamismängu: mängijateks on $N$ indiviidi, kellel igaühel on võimalik valida kolme kandidaadi A, B ja C vahel. Igal indiviidil on üks hääl. Kandidaat, kellel on kõige vähem hääli võidab. Kui peaks juhtuma viik kahe või kolme kandidaadi vahel, siis valitakse neist üks kandidaat võrdse tõenäosusega (seega kui kaks kandidaati saavad võrdse arvu hääli, siis valitakse kumbki tõenäosusega 0,5; kui kolm kandidaati, siis on tõenäosus 0,33(3) ).

Oletame, et indiviidi $i$ eelistused on $u_i(A)>u_i(B)>u_i(C)$. Kas tal on rangelt domineeriv strateegia?

c) Kas tal on nõrgalt domineeriv strateegia?

3. Topoloogia.

1) Olgu $X=\mathbb R_l\times \mathbb R_l$ product topoloogiaga. Olgu $D=\{(x,y)\in X: x^2+y^2< 1\}$. Mis on $D$ sulund? Teha joonis ning anda selgitus.

2) Vaatleme ruumi $\mathbb R^\omega=\prod_{n=1}^\infty \mathbb R$.Tuua näide lahtisest hulgast uniform topoloogias, mis ei ole lahtine product topoloogias. Tuua näide lahtisest hulgast box topoloogias, mis ei ole lahtine uniform topoloogias. Selgita vastuseid.